Líneas.
La recta es una sucesión infinita o continua de puntos a lineados en una sola dirección. Es una de las primitivas gráficas en computación gráfica viene dada por la ecuación y= m.x+b , donde m es la pendiente de la recta y v es el corte con el eje y.
Como los pixeles se grafican en posiciones enteras, la línea trazada solo puede aproximar posiciones de línea reales entre los puntos extremos especificados.
Una línea recta debe dibujarse como una sucesión de pixeles.
Efecto de escalera que se produce cuando se genera una línea como una serie de pixeles .
Trasformar primitivas en pixeles.
Las coordenadas de los pixeles deben estar lo más cerca posible de una línea recta real.
Un algoritmo debe cumplir con:
*La secuencia de pixeles debe ser lo más recta que se pueda.
*Las líneas deben tener el mismo grosor e intensidad sin importar el grado de inclinación.
*Las líneas deben dibujarse lo más rápido posible.
Algoritmos para trazo de líneas
Algoritmo DDA,
El analizador diferencial digital(DDA) es un algoritmo que sirve para calcular posiciones de pixeles a lo largo de una línea, mediante el uso de la ecuación.
Las coordenadas de los pixeles deben estar lo más cerca posible de una línea recta real.
Un algoritmo debe cumplir con:
*La secuencia de pixeles debe ser lo más recta que se pueda.
*Las líneas deben tener el mismo grosor e intensidad sin importar el grado de inclinación.
*Las líneas deben dibujarse lo más rápido posible.
Algoritmos para trazo de líneas
Algoritmo DDA,
El analizador diferencial digital(DDA) es un algoritmo que sirve para calcular posiciones de pixeles a lo largo de una línea, mediante el uso de la ecuación.
∆y=m.∆x
Ecuación básica de la recta y=m.x+b
m es la pendiente y v es la intersección con el eje y.
Algoritmo de bresenham
Calcula cual de dos pixeles es el mas cercano a la trayectoria de una linea.
El pixel x(i),y(i) se divide en (xi+1,yi)(xi+1,yi+1) hay que decidir cual pintar calculando la distancia vertical entre el centro de cada pixel y la linea real.
Las posiciones de los pixeles se representan por las áreas rectangulares numeradas.
Sección de una retícula de la pantalla donde se desplegara una linea que pasara por:
(Xi,Yi)
Estilo de líneas
*Los atributos de estilo de linea determinan la forma en que se desplegara una linea por medio de una rutina de trazo de lineas. Los atributos de linea son su tipo,su anchura y su color.
Superficies curvas
Los despliegues tridimensionales de las superficies curvas pueden generarse a partir de un conjunto de entrada de las funciones matemáticas que define la superficies o bien a partir de un conjunto de puntos de datos especificados por el usuario. Cuando se especifican funciones de curvas, un paquete puede emplear las ecuaciones definidoras para localizar y gráfica posiciones de pixeles a lo largo de la trayectoria de la curva, casi igual como sucede con las curvas en dos dimensiones. Un ejemplo de la clase de superficies que pueden generarse a partir de una definición funcional seda en la figura. A partir de un conjunto de datos de entrada, un paquete determina las descripciones funcionales de la curva que mejor se ajusta a los puntos de datos según las restricciones de la aplicación En la figura 1.7 se muestra un objeto cuya superficies curvas pueden ser definidas por un conjunto de entrada de punto de datos.
Podemos representar una linea curva tridimensional en forma analítica con la pareja de funciones.
y=f(x), z=g(x)
Con la coordenada x seleccionada como variable independiente, los valores de las variables dependientes y,z se determinan después a partir de las ecuaciones 1.6 a medida que se avanza a través de valores de x de un extremo de la línea al otro. Esta representación tiene algunas desventajas. Si se desea una gráfica alisada, se debe cambiar la variable independiente siempre que la primera derivada (pendiente) de f(x) o bien g (x) se vuelve mayor que 1.Esto significa que se debe verificar continuamente los valores de las derivadas, que pueden volverse infinitas en algunos puntos. Así mismo, las ecuaciones anteriores ofrecen un formato desproporcionado para representar funciones con valores múltiples. Una representación más propicia de las curvas para las aplicaciones de las gráficas es en términos de ecuaciones paramétricas.
Ecuaciones parametricas.
Mediante la introducción de un curto parámetro, u, en la descripción coordenada de una curva, se puede expresar cada una de las tres coordenadas cartesianas en forma paramétrica. Cualquier punto de la curva puede representarse entonces por medio de la función vectorial.
p(u)=(x(u),y(u),z(u))
Por lo general, las ecuaciones paramétricas se constituyen de manera que el parámetro se define en el intervalo de 0 a 1.
También son posibles otras formas paramétricas para describir circunferencias y arcos circulares.
En el caso de una curva arbitraria, puede ser difícil idear un conjunto de ecuaciones paramétricas que definen completamente la forma de la curva. Pero cualquier curva puede aproximarse utilizando diferentes conjuntos de funciones paramétricas, sobre partes diferentes de la curva. Por lo general estas aproximaciones se forman con funciones polinomiales. Dicha construcción por partes de una curva debe implantarse cuidadosamente para asegurar de que haya transición sencilla de una sección de la curva a la siguiente. La uniformidad de una curva puede describirse a partir de la continuidad de la curva entre las secciones. La continuidad de orden 0 se refiere simplemente a que las curvas se interceptan. Continuidad de primer orden significa que las líneas tangentes (primeras derivadas) de dos secciones adyacentes de la curva son la misma en el punto de adyacencia.
Continuidad de segundo orden quiere decir que las curvaturas (segundas derivadas) de las dos secciones de la curva son la misma en la intersección. La figura 1.8 muestra ejemplos de los tres órdenes de continuidad.
En aplicaciones de diseño, una curva o superficie a menudo se define especificando interactivamente un conjunto de puntos de control, los cuales indican la forma de la curva. Estos puntos de control son usados por el paquete para formal ecuaciones paramétricas polinomiales para desplegar la curva definida, cuando la curva desplegada pasa a través de los punto de control, como en la figura 1.10 se dice que interpola los puntos de control.
Por otro lado, se dice que los puntos de control se aproximan si la curva desplegada pasa cerca de ellos (fig 1.11).Existen muchas técnicas para constituir ecuaciones paramétricas polinomiales de curvas y superficies, dada las coordenadas de los puntos de control. Entre los métodos básicos para desplegar curvas específicas con punto de control se incluyen las formulaciones de Bezier y "Spline".
Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas.
La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen oculares para la representación de curvas en informática particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
Curvas y Superficies De BEZIER.
Pierre Bezier, ingeniero francés desarrollo este método de aproximación de spline para utilizarlo en el diseño de carrocerías de los automóviles Renault. Las spline de Bezier tienen varias propiedades que hacen que sean muy útiles y convenientes para el diseño de curvas y superficies. Así mismo,es fácil implementarla.Por esos motivos las splines de Bezier están disponibles en forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.
Curvas de Bezier
En general,es posible ajustar una curva de bezier para cualquier numero de puntos de control.el numero de puntos de control que se debe aproximar y su posición relativa determina el grado de polinomio de Bezier.
La idea de definir geometricamente las formas no es demasiado compleja:un punto del plano puede definirse por coordenadas.Por ejemplo, un conjunto A tiene unas coordenadas(x1, y1) y aun punto B le corresponde (x2, y2).para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición.
Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva,surgen los elementos esenciales de una curva Bezier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos.La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo,denominados puntos de control,manejadores o manecillas.
La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen oculares para la representación de curvas en informática particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
Curvas y Superficies De BEZIER.
Pierre Bezier, ingeniero francés desarrollo este método de aproximación de spline para utilizarlo en el diseño de carrocerías de los automóviles Renault. Las spline de Bezier tienen varias propiedades que hacen que sean muy útiles y convenientes para el diseño de curvas y superficies. Así mismo,es fácil implementarla.Por esos motivos las splines de Bezier están disponibles en forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.
Curvas de Bezier
En general,es posible ajustar una curva de bezier para cualquier numero de puntos de control.el numero de puntos de control que se debe aproximar y su posición relativa determina el grado de polinomio de Bezier.
La idea de definir geometricamente las formas no es demasiado compleja:un punto del plano puede definirse por coordenadas.Por ejemplo, un conjunto A tiene unas coordenadas(x1, y1) y aun punto B le corresponde (x2, y2).para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición.
Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva,surgen los elementos esenciales de una curva Bezier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos.La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo,denominados puntos de control,manejadores o manecillas.
Desventajas de las curvas de Bezier.
Para grafos de control complejos(formados por muchos puntos)
1. El grado de la base es elevado
2. Tienden a suavizar demasiado la geometría del grafo de control
3. Se tornan insensibles a pequeños cambios locales.El desplazamiento de un solo punto de control casi no produce efecto en la curva
4. El control global provoca que el desplazamiento de un solo punto de control modifique a toda la curva.
Aplicaciones de la curva de Bezier.
Las curvas de Bezier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves. como la curva está completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser suavizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones afines tales como traslación y rotación pueden ser aplicadas con gran facilidad a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.
Bibliografía.
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