2.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL.

Muchas aplicaciones gráficas implican secuencias de transformaciones geométricas. Por ejemplo, una animación podría requerir que se traslade y gire un objeto en cada incremento del movimiento. En aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. Aquí, consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de matriz que analizamos en las secciones anteriores de modo que se puedan procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación.

Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:

• Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma.
• Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final.
• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones.
• Cada transformación puede representarse como P’ = P M1 + M2.
• La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala.
• La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación.
• Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas coordenadas en cada transformación.

P’’ = P’ M3 + M4= … = P M1 M3 + M2 M3 + M4

• Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales

Las transformaciones geométricas tridimensionales que se estudian son tres en concreto: traslación, escalado y rotación.

Traslación:

Nos permitirá cambiar la posición de un objeto, moviéndolo en línea recta desde una posición inicial a la posición final.
Requiere 3 parámetros:

Tx = Desplazamiento en X

Ty = Desplazamiento en Y

Tz = Desplazamiento en Z

Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:

x’= x+Tx

y’= y+Ty

z’= z+Tz
Dónde:

Tx, Ty,Tz > 0 Desplazamiento positivo

Tx, Ty,Tz < 0 Desplazamiento negativo

Tx,Ty,Tz = 0 No hay desplazamiento

La matriz que utilizamos en la Translación es de la forma:

Y al realizar la matriz el resultado gráfico es el siguiente:

Escalación:

La matriz para la transformación de escalación de una posición P = (x, y, z) con respecto del origen de las coordenadas. Consiste en cambiar el tamaño de un objeto. Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:

− x’= x Sx

− y’= y Sy

− z’= z Sz

Requiere 3 parámetros:

Sx = Factor de escalación en X

Sy = Factor de escalación en Y

Sz = Factor de escalación en Z

Sx,Sy,Sz > 1 Aumenta la dimensión

Sx,Sy,Sz < 1 Disminuye la dimensión

Sx,Sy,Sz = 1 Se mantiene la dimensión

La matriz que se utiliza para la escalación es de la forma:

La resultante de la matriz dentro de una gráfica tridimensional seria:

Rotación:

Para generar una transformación de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girara el objeto, y la cantidad de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).

Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier línea en el espacio.

Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a los ejes de coordenadas.

Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen de coordenadas.

Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen en coordenadas.

Se forma una matriz de rotación inversa al sustituir el ángulo de rotación θ por –θ. Los valores negativos para los ángulos de rotación generan rotaciones en una dirección en el sentido del reloj, de modo que se produce la matriz identidad cuando se multiplica cualquier matriz de rotación por su inverso.

Consiste en girar un objeto alrededor de uno de los ejes de coordenadas. Respecto al eje Z,

Por ejemplo, las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:

− x’= x cos(α)- y sen(α)

− y’= x sen(α)+ y cos(α)

− z’= z

Donde α es el ángulo de giro

Las matrices que se utilizan para cada eje de coordenadas son las siguientes:

Y gráficamente los resultados son:
Rotación con respecto al eje X.

Rotación con respecto al eje Y.

Rotación con respecto al eje Z.

Composición De Transformaciones Tridimensionales.

La composición de transformaciones tridimensionales es la transformación de dos traslaciones sucesivas.
Es decir que resulta de la multiplicación de nuestra matriz de puntos de la figura original, por el resultado de la multiplicación de la matriz de la primera traslación por la matriz de la segunda traslación.
De esta manera de estas operaciones matriciales obtenemos los nuevos puntos de nuestra figura trasladada.

Conclusión:

En este tema vemos cómo las figuras las podemos expresar de una forma sencilla mediante multiplicaciones de matrices. Introduciremos coordenadas con el fin de tratar de una manera uniforme las transformaciones y en algunos casos modelos tridimensionales.

Bibliografía:

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r89546.PDF

http://www.slideshare.net/Zadai/graficacion-unidad-ii22al27

http://jesusyliz18.blogspot.mx/p/unidad-2_13.html

http://graficacionitca3d.blogspot.mx/2012/03/26-representacion-matricial-de.html